乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1998 年

1998 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 9 分

设有来自三个地区的各

10

名、

15

名和

25

名考生的报名表，其中女生的报名表分别为

3

份、

7

份和

5

份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。（1）求先抽到的一份是女生表的概率

p

；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率

q

。

提示 1

设

A_{i}

为取第

i

个地区（各

\frac{1}{3}

），用全概率公式求

p = P (B_{1})

。

提示 2

第二问用条件概率

q = \frac{P ( B _{1} B _{2} )}{P ( B _{2} )}

；对称性给

P (B_{2}) = P (B_{1})

。

提示 3

分地区算

P (B_{1} \overline{B_{2}} ∣ A_{i})

（先女后男、不放回），再加权求和。

答案与详解

答案 $p = \frac{29}{90}$ ； $q = \frac{20}{61}$

思路（为什么这么做）

「先取地区再抽两份」→ 全概率求边缘概率、贝叶斯求逆概率。坑：

P (B_{2}) = P (B_{1})

由抽签公平（对称性）无需重算；

P (B_{1} \overline{B_{2}} ∣ A_{i})

是不放回连抽

\frac{女}{N} \cdot \frac{男}{N - 1}

。

解答

本题考查全概率公式与贝叶斯公式。 设

A_{i} = {

取第

i

个地区

} (i = 1, 2, 3)

，

P (A_{i}) = \frac{1}{3}

；

B_{i} = {

第

i

次抽到女生表

}

。

各地区第一次抽到女生表的条件概率：

P (B_{1} ∣ A_{1}) = \frac{3}{10}, P (B_{1} ∣ A_{2}) = \frac{7}{15}, P (B_{1} ∣ A_{3}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}

。

（1）全概率公式：

p = P (B_{1}) = \sum_{i = 1}^{3} P (A_{i}) P (B_{1} ∣ A_{i}) = \frac{1}{3} (\frac{3}{10} + \frac{7}{15} + \frac{1}{5}) = \frac{29}{90}

。

（2）

q = P (B_{1} ∣ \overline{B_{2}}) = \frac{P ( B _{1} B _{2} )}{P ( B _{2} )}

。由对称性

P (B_{2}) = P (B_{1}) = \frac{29}{90}

，

P (\overline{B_{2}}) = \frac{61}{90}

。又

P (B_{1} \overline{B_{2}} ∣ A_{1}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{30}

，

P (B_{1} \overline{B_{2}} ∣ A_{2}) = \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{14} = \frac{8}{30}

，

P (B_{1} \overline{B_{2}} ∣ A_{3}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{20}{24} = \frac{5}{30}

，故

P (B_{1} \overline{B_{2}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{20}{30} = \frac{2}{9}

。于是

q = \frac{2/9}{61/90} = \frac{20}{61}

。

考点：全概率公式与贝叶斯公式、条件概率与乘法公式

← 1998 年全部题目