1990 年考研数学（三） 第 16 题

「$f^{\prime }$ 单调 + 证增量不等式」→ 把两侧写成等长区间上的增量，各用一次拉格朗日，再用 $f^{\prime }$ 单调比较导数值。坑：两段区间长度都要凑成 $a$，且中值点满足 ${\xi }_1<{\xi }_2$。

本题考查用拉格朗日中值定理证明不等式。 把目标改写为两段等长增量之比较，各用一次中值定理。

在 $[0,a]$ 上：$\exists {\xi }_1\in (0,a)$ 使 $f(a)-f(0)=f^{\prime }({\xi }_1)a$；在 $[b,a+b]$ 上：$\exists {\xi }_2\in (b,a+b)$ 使 $f(a+b)-f(b)=f^{\prime }({\xi }_2)[(a+b)-b]=f^{\prime }({\xi }_2)a$（两区间长度都是 $a$）。

因 ${\xi }_1<a\le b<{\xi }_2$ 且 $f^{\prime }$ 单调减少，故 $f^{\prime }({\xi }_1)\ge f^{\prime }({\xi }_2)$，从而 $f^{\prime }({\xi }_1)a\ge f^{\prime }({\xi }_2)a$，即 $f(a)-f(0)\ge f(a+b)-f(b)$。由 $f(0)=0$ 得 $f(a)\ge f(a+b)-f(b)$，即 $f(a+b)\le f(a)+f(b)$。（$a=0$ 时两边相等，显然成立。）