1987 年考研数学（三） 第 1 题

含 ${\mathrm{e}}^{1/x}$ 且 $x\to 0$ → 必分左右：$\frac{1}{x}\to \mp \infty$ 让 ${\mathrm{e}}^{1/x}\to 0$ 或 $+\infty$。坑：一侧趋于 $0$、一侧趋于 $+\infty$，整体极限不存在，写成 $\infty$ 是错的。

本题考查 $x\to 0$ 时 ${\mathrm{e}}^{1/x}$ 的极限，必须分左右讨论。 记号 $\infty$ 要求 $|f(x)|\to +\infty$，而这里左右两侧走向完全不同。

左极限：$x\to 0^{-}$ 时 $\frac{1}{x}\to -\infty$，故 $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\mathrm{e}}^{1/x}={\mathrm{e}}^{-\infty }=0$；
右极限：$x\to 0^{+}$ 时 $\frac{1}{x}\to +\infty$，故 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{e}}^{1/x}=+\infty$。

左极限为 $0$、右极限为 $+\infty$，二者不一致，故 $\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{1/x}$ 不存在，更谈不上等于 $\infty$。命题错误，选 B。