2025 年考研数学（二） 第 22 题

两问的区别是「合同」与「正交相似（既相似又合同）」的层次差：第Ⅰ问只要惯性指数一致，$B$ 有零对角元逼出 $|A|=0$ 定 $a=4$，再由 $A$ 的特征值 $0,3,6$ 两正一零要求 $k>0$；第Ⅱ问 $Q$ 正交使 $Q^{T}AQ=B$ 意味着 $A,B$ 相似，特征值必须一模一样，故 $k$ 只能取 $A$ 的特征值 $3$。求 $Q$ 就是实对称矩阵正交对角化：不同特征值的特征向量自动正交，单位化即可，注意列的顺序要与 $B$ 对角元 $3,6,0$ 严格对应。

本题综合考查矩阵合同与实对称矩阵的正交相似对角化。 $A,B$ 合同 $\Rightarrow$ 正、负惯性指数相同；$B$ 为对角阵，对角元 $k,6,0$ 即其特征值（作为二次型的系数）。

（Ⅰ） $B$ 有零对角元，故 $|B|=0$，由合同（不可逆时 $|A|=|B|=0$）得 $|A|=0$。计算
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right|\stackrel{c_1-c_2,c_3-c_2}{\to }\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -3\\ 0& 1& 0\\ -3& 1& a-1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3& -3\\ -3& a-1\end{array}\right|=3(a-4).$$
由 $|A|=0$ 得 $a=4$。

于是 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& 4\end{array}\right)$，其特征多项式
$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -3)(\lambda -6),$$
特征值为 $0,3,6$——两正一零，正惯性指数 $2$、负惯性指数 $0$。要 $B$ 与之合同，$B$ 也须两正一零；$B$ 对角元为 $k,6,0$，$6>0$，故需 $k>0$。即 $a=4$，$k$ 的取值范围为 $(0,+\infty )$。

（Ⅱ） 若存在正交 $Q$ 使 $Q^{T}AQ=B$（正交阵 $Q^T=Q^{-1}$，故 $A,B$ 相似），则 $A,B$ 特征值相同。$A$ 的特征值为 $0,3,6$，$B$ 对角元 $k,6,0$，故 $k=3$。

求 $A$ 的属于 $3,6,0$ 的特征向量（$Q$ 的列须与 $B$ 对角元顺序 $k=3,6,0$ 对应）：
$$\lambda =3:{\xi }_1=(1,1,1{)}^T;\lambda =6:{\xi }_2=(-1,0,1{)}^T;\lambda =0:{\xi }_3=(1,-2,1{)}^T.$$
实对称矩阵不同特征值的特征向量已相互正交，单位化：
$$Q=(\frac{{\xi }_1}{\Vert {\xi }_1\Vert },\frac{{\xi }_2}{\Vert {\xi }_2\Vert },\frac{{\xi }_3}{\Vert {\xi }_3\Vert })=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right).$$
则 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(3,6,0)=B$，$Q$ 即所求。故 $k=3$，$Q$ 如上。