2023 年考研数学（二） 第 22 题

第一问是「读矩阵」——线性映射的像用坐标写出来，系数阵就是 $A$。第二问是标准的相似对角化流程：特征多项式因式分解得到三个互异特征值，互异这一点直接保证可对角化、且三个特征向量自动线性无关，无需再验证。唯一要守住的纪律是 $P$ 的列与 $\Lambda$ 的对角元必须一一对应、顺序一致，否则 $P^{-1}AP$ 不等于所写的 $\Lambda$。

本题考查矩阵的相似对角化。 第（Ⅰ）问把右端写成「矩阵乘 $\mathbf{x}$」即得 $A$；第（Ⅱ）问求特征值与特征向量，拼出 $P$ 与 $\Lambda$。

（Ⅰ） 因
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$
对任意 $\mathbf{x}$ 成立，故 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$。

（Ⅱ）求特征值。 特征多项式（按第三行展开）
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -1& -1\\ -2& \lambda +1& -1\\ 0& -1& \lambda +1\end{array}\right|=-(\lambda +1)+(\lambda +1)({\lambda }^2-3)=(\lambda +1)({\lambda }^2-4)=(\lambda +1)(\lambda -2)(\lambda +2).$$
故特征值为 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=2$。

求特征向量。
$\lambda =-2$：$(-2E-A)\mathbf{x}=0$，$-2E-A=\left(\begin{array}{ccc}-3& -1& -1\\ -2& -1& -1\\ 0& -1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，基础解系 ${\mathbf{\xi }}_1=(0,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。
$\lambda =-1$：$-E-A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& -1\\ -2& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，基础解系 ${\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,2{)}^{\mathrm{T}}$。
$\lambda =2$：$2E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -2& 3& -1\\ 0& -1& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -4\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，基础解系 ${\mathbf{\xi }}_3=(4,3,1{)}^{\mathrm{T}}$。

组装。 令 $P=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 0& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$。三个特征值互异，对应特征向量线性无关，故 $P$ 可逆，且
$$P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$
（$\Lambda$ 的对角元与 $P$ 的列向量按同一顺序对应。）