1995 年考研数学（二） 第 2 题

常系数非齐次线性方程「通解 = 齐次通解 + 特解」。特征方程 ${\lambda }^2+1=0$ 给纯虚根，对应三角函数解。特解按非齐次项类型「多项式配多项式」设 $ax+b$：因为 $\lambda =0$ 不是特征根，无需乘 $x$。代入立刻定出 $y_0=-2x$。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的通解。 通解 = 对应齐次方程通解 + 一个特解。

对应齐次方程 $y^{\prime \prime }+y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2+1=0$，特征根 ${\lambda }_{1,2}=\pm i$，故齐次通解为
$$Y=C_1\cos x+C_2\sin x.$$

非齐次项 $-2x$ 是一次多项式，且 $0$ 不是特征根，设特解 $y_0=ax+b$。由 $y_0^{\prime \prime }+y_0=-2x$ 得 $ax+b=-2x$，比较系数得 $a=-2,b=0$，即 $y_0=-2x$。

故通解为
$$y=C_1\cos x+C_2\sin x-2x(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$