1995 年考研数学（二） 第 1 题

看到两个都含 $x$ 的因子相乘，第一反应是乘积法则；每个因子内部又是复合函数，链式法则一层层往里剥。最易漏的两处：最内层 $\frac{1}{x}$ 求导产生的负号 $-\frac{1}{x^2}$，以及用二倍角 $2\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}=\sin \frac{2}{x}$ 把结果化简。

本题考查复合函数求导（乘积法则 + 链式法则）。 把 $y$ 看作两个因子 $\cos (x^2)$ 与 ${\sin }^2\frac{1}{x}$ 的乘积，逐项求导。

由乘积法则：
$$y^{\prime }=[\cos (x^2){]}^{\prime }{\sin }^2\frac{1}{x}+\cos (x^2)[{\sin }^2\frac{1}{x}{]}^{\prime }.$$
其中 $[\cos (x^2){]}^{\prime }=-\sin (x^2)\cdot 2x=-2x\sin x^2$。

对 ${\sin }^2\frac{1}{x}$ 用链式法则（三层复合：平方 $\circ$ 正弦 $\circ$ $\frac{1}{x}$）：
$$[{\sin }^2\frac{1}{x}{]}^{\prime }=2\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\cdot (-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x^2}\sin \frac{2}{x}.$$

代入得
$$y^{\prime }=-2x\sin x^2{\sin }^2\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\cos x^2\sin \frac{2}{x}.$$