2014 年考研数学（一） 第 18 题

第二类曲面积分遇「不封闭」就想补面用高斯公式。补 $z=1$ 的圆盘封口，转成三重积分；散度展开后利用 $\Omega$ 关于两坐标面的对称性把 $x,y$ 的一次项积掉，只剩 $3(x^2+y^2)+7$。柱坐标积分得 $-4\pi$，而补面上被积表达式恰为 $0$，故 $I=-4\pi$。

本题考查第二类曲面积分与高斯公式。 $\Sigma$ 不封闭，补一块平面凑成闭曲面。

补 ${\Sigma }_0:z=1(x^2+y^2\le 1)$，取下侧，则 $\Sigma$（上侧）与 ${\Sigma }_0$（下侧）合成闭曲面，围成区域 $\Omega =\{(x,y,z):x^2+y^2\le z\le 1\}$，且其法向指向 $\Omega$ 内部。由高斯公式 $$\iint =-{\iiint }_{\Omega }[3(x-1{)}^2+3(y-1{)}^2+1]\mathrm{d}v.$$

被积函数 $=3(x^2+y^2)-6x-6y+7$。由 $\Omega$ 关于 $x=0$、$y=0$ 对称，${\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }y\mathrm{d}v=0$，故 $$\iint =-{\iiint }_{\Omega }[3(x^2+y^2)+7]\mathrm{d}v.$$

用柱坐标（先 $z$ 后 $\theta ,r$）：$$-{\int }_0^1\mathrm{d}z{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{z}}(3r^2+7)r\mathrm{d}r=-2\pi {\int }_0^1(\frac{3}{4}{z}^2+\frac{7}{2}z)\mathrm{d}z=-2\pi (\frac{1}{4}+\frac{7}{4})=-4\pi .$$

而在 ${\Sigma }_0$ 上 $z\equiv 1$，$\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\mathrm{d}z\mathrm{d}x=0$ 且 $(z-1)=0$，故 ${\iint }_{{\Sigma }_0}(\cdots )=0$。

所以 $I=\iint -{\iint }_{{\Sigma }_0}=-4\pi -0=-4\pi$。