1996 年考研数学（一） 第 1 题

看到底数趋于 $1$、指数趋于 $\infty$，立即判定 $1^{\infty }$ 型，这正是第二个重要极限 $\lim (1+\alpha {)}^{1/\alpha }=e$ 的用武之地。关键第一步是把分式底数拆成 $1+\frac{3a}{x-a}$，再让指数配上 $\frac{x-a}{3a}$ 的因子，极限自然收成 $e$ 的幂，最后由指数方程定出 $a$。

本题考查第二个重要极限 $\lim (1+\alpha {)}^{1/\alpha }=e$。 先把底数凑成 $1+\alpha$（$\alpha \to 0$）的形式。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1+\frac{3a}{x-a}\right)}^{\frac{x-a}{3a}}\right]}^{x\cdot \frac{3a}{x-a}}=e^{3a}.$$

由 $e^{3a}=8$ 得 $3a=\ln 8=3\ln 2$，故 $a=\ln 2$。