1989 年考研数学（一）第 23 题

解答题 · 6 分

设随机变量

X

与

Y

独立，且

X

服从均值为

1

、标准差为

2

的正态分布，而

Y

服从标准正态分布，试求随机变量

Z = 2 X - Y + 3

的概率密度函数.

提示 1

独立正态的线性组合仍是正态，所以

Z

必为正态，只需求出它的期望和方差就能写出密度。

提示 2

期望用线性性直接算；方差要把系数平方，且

X, Y

独立、没有协方差交叉项。

提示 3

留意

X

的「标准差

2

」意味着方差

D (X) = 2

，代入

D (Z) = 4 D (X) + D (Y)

。

答案与详解

思路（为什么这么做）

关键结论是「独立正态的线性组合还是正态」，于是问题降为求两个参数。均值用期望的线性性直接算；方差记住「系数平方、独立无交叉项」，还要把「标准差

2

」正确读成方差

2

。得到

Z \sim N (5, 9)

后套正态密度公式即可。

解答

本题考查独立正态随机变量线性组合的分布。 相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。

已知

X \sim N (1, 2)

（

σ_{X} = 2

，

D (X) = 2

），

Y \sim N (0, 1)

，且

X, Y

独立，故

Z = 2 X - Y + 3

服从正态分布。

E (Z) = 2 E (X) - E (Y) + 3 = 2 \times 1 - 0 + 3 = 5, D (Z) = 4 D (X) + D (Y) = 4 \times 2 + 1 = 9.

故

Z \sim N (5, 3^{2})

，其概率密度为

f_{Z} (z) = \frac{1}{3 2 π} e^{- \frac{( z - 5 ) ^{2}}{18}}, - \infty < z < + \infty.

1989 年考研数学（一） 第 23 题