2022 年考研数学（三） 第 22 题

多总体最大似然：分别写密度（指数分布均值 $=\frac{1}{\text{参数}}$，别把均值当参数），合并成一个似然函数，取对数求导。求估计量方差时用 $\hat{\theta }$ 的线性表达式 + 各样本独立，指数分布 $D={\text{均值}}^2$。坑：$Y$ 的均值是 $2\theta$ 故 $D(Y)=4{\theta }^2$；$\hat{\theta }$ 里 $X_i$ 系数为 $2$，算方差要平方成 $4$。

本题考查最大似然估计与指数分布的数字特征。 两组样本来自参数不同的指数分布，需先写出各自的密度，再合并似然函数求 $\theta$。

写密度。 $X$ 均值为 $\theta$，即参数 $\frac{1}{\theta }$ 的指数分布，$f_X(x)=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$；$Y$ 均值为 $2\theta$，即参数 $\frac{1}{2\theta }$ 的指数分布，$f_Y(y)=\frac{1}{2\theta }{e}^{-y/(2\theta )}(y>0)$。

似然函数（$x_i>0,y_j>0$）：
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\theta }{e}^{-x_i/\theta }\prod _{j=1}^m\frac{1}{2\theta }{e}^{-y_j/(2\theta )}=\frac{1}{2^m{\theta }^{m+n}}\exp \left(-\frac{\sum x_i}{\theta }-\frac{\sum y_j}{2\theta }\right).$$
取对数 $\ln L=-m\ln 2-(m+n)\ln \theta -\frac{\sum x_i}{\theta }-\frac{\sum y_j}{2\theta }$。

求驻点。 $\frac{d\ln L}{d\theta }=-\frac{m+n}{\theta }+\frac{\sum x_i}{{\theta }^2}+\frac{\sum y_j}{2{\theta }^2}=0$，解得 $\theta =\frac{2\sum x_i+\sum y_j}{2(m+n)}$。故最大似然估计量
$$\hat{\theta }=\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i+{\sum }_{j=1}^m{Y}_j}{2(m+n)}.$$

求方差。 指数分布 $D(X)={\theta }^2$，$D(Y)=(2\theta {)}^2=4{\theta }^2$，各样本独立。故
$$D(\hat{\theta })=\frac{1}{4(m+n{)}^2}\left[4\sum _{i=1}^{n}D(X_i)+\sum _{j=1}^{m}D(Y_j)\right]=\frac{4n{\theta }^2+m\cdot 4{\theta }^2}{4(m+n{)}^2}=\frac{(m+n){\theta }^2}{(m+n{)}^2}=\frac{{\theta }^2}{m+n}.$$