2024 年考研数学（二） 第 22 题

（Ⅰ）的钥匙是把「同解/被包含」翻译成秩语言：解集被包含且严格更大 ⇒ $B^{\mathrm{T}}x=0$ 解空间维数更大 ⇒ $r(B^{\mathrm{T}})$ 更小，锁定 $r(B^{\mathrm{T}})=1$ 得 $b$，再代入解向量得 $a$。（Ⅱ）注意二次型矩阵是 $BA$，它秩 $1$、迹 $6$，无需算特征多项式即可断定特征值 $6,0,0$；标准形系数就是特征值，故为 $6y_1^2$。重特征值 $0$ 对应两个特征向量要施密特正交化，才能保证 $Q$ 是正交矩阵。

本题综合考查线性方程组同解（秩的关系）与实对称矩阵的正交相似对角化。 二次型经正交变换所得标准形的系数即对应对称矩阵 $BA$ 的特征值。

（Ⅰ） $A$ 为 $2\times 3$ 矩阵且有 $2$ 阶非零子式（如 $\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1$），故 $r(A)=2$，$Ax=0$ 的基础解系含 $3-2=1$ 个解向量。因 $Ax=0$ 的解均是 $B^{\mathrm{T}}x=0$ 的解、但两方程组不同解，故 $B^{\mathrm{T}}x=0$ 的基础解系至少含 $2$ 个解向量，从而 $r(B^{\mathrm{T}})\le 3-2=1$；又 $B\ne O$，故 $r(B^{\mathrm{T}})=1$。

由 $B^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& b\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 0& b-2\end{array}\right)$，$r(B^{\mathrm{T}})=1$ 要求 $b-2=0$，即 $b=2$。

设 $(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$ 为 $Ax=0$ 的解：$\{\begin{array}{l}{x}_2+a{x}_3=0\\ x_1+x_3=0\end{array}$，取 $x_3=1$ 得基础解系 $(-1,-a,1{)}^{\mathrm{T}}$。代入 $B^{\mathrm{T}}x=0$（即 $x_1+x_2+2x_3=0$）得 $-1-a+2=0$，解得 $a=1$。故 $a=1,b=2$。

（Ⅱ） 由（Ⅰ）$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$，则 $BA=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right)$。它是实对称矩阵，秩为 $1$、迹为 $6$，故特征值为 $6,0,0$。

属于特征值 $6$：解 $(6E-BA)x=0$ 得特征向量 ${\xi }_1=(1,1,2{)}^{\mathrm{T}}$。

属于特征值 $0$：解 $BAx=0$，即 $x_1+x_2+2x_3=0$，得线性无关特征向量 ${\xi }_2=(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_3=(-2,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

${\xi }_2,{\xi }_3$ 已与 ${\xi }_1$ 正交，只需将 ${\xi }_2,{\xi }_3$ 正交化：
$${\eta }_2={\xi }_2=(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\eta }_3={\xi }_3-\frac{({\eta }_2,{\xi }_3)}{({\eta }_2,{\eta }_2)}{\eta }_2=(-2,0,1{)}^{\mathrm{T}}-\frac{2}{2}(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}}=(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}.$$

单位化得 ${\epsilon }_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^{\mathrm{T}},{\epsilon }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\epsilon }_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。令
$$Q=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),$$
则 $Q$ 为正交矩阵，正交变换 $x=Qy$ 将 $f$ 化为标准形 $6y_1^2$。