1993 年考研数学（二） 第 20 题

题设「$f(0)=0$」加「$f^{\prime }$ 有界 $M$」是强烈的中值定理信号：$f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x$ 把函数值直接换成导数值乘 $x$，于是逐点得到 $|f(x)|\le Mx$。证积分不等式的通法是「绝对值进积分号 $\Rightarrow$ 被积函数逐点放大 $\Rightarrow$ 积出上界」。放大后被积函数 $Mx$ 一积就出 $\frac{M{a}^2}{2}$，右端形式也提示了答案里的 $\frac{a^2}{2}={\int }_0^{a}xdx$。

本题考查用拉格朗日中值定理作积分估值。 先用中值定理把 $f(x)$ 用 $f^{\prime }$ 控制住，再对积分取绝对值放大。

对任意 $x\in [0,a]$，由 $f(0)=0$ 及拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使
$$f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )(x-0)=f^{\prime }(\xi )x.$$
于是 $|f(x)|=|f^{\prime }(\xi )|x\le Mx$（这里用到 $x\ge 0$ 及 $|f^{\prime }(\xi )|\le M$）。

对积分取绝对值并逐点放大：
$$\left|{\int }_0^{a}f(x)dx\right|\le {\int }_0^a|f(x)|dx\le {\int }_0^{a}Mxdx=M\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^a=\frac{M{a}^2}{2}.$$

故 $\left|{\int }_0^{a}f(x)dx\right|\le \frac{M{a}^2}{2}$。证毕。