1997 年考研数学（一） 第 22 题

两种估计法各有固定套路。矩估计「令总体矩 = 样本矩」：$E(X)=\frac{\theta +1}{\theta +2}$ 等于 $\bar{X}$ 解出。极大似然「连乘取对数、求导置零」：$\ln L=n\ln (\theta +1)+\theta \sum \ln x_i$ 求导即得。识别出密度是含参数 $\theta$ 的幂函数，取对数后求导会非常干净。

矩估计：先求总体一阶原点矩
$$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot (\theta +1)x^{\theta }dx=(\theta +1){\int }_0^1{x}^{\theta +1}dx=\frac{\theta +1}{\theta +2}.$$

令 $E(X)=\bar{X}$，即 $\frac{\theta +1}{\theta +2}=\bar{X}$，解得矩估计量
$$\hat{\theta }=\frac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}.$$

极大似然估计：似然函数（$0<x_i<1$）
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^n(\theta +1)x_i^{\theta }=(\theta +1{)}^n{\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\theta },$$
取对数 $\ln L(\theta )=n\ln (\theta +1)+\theta \sum _{i=1}^n\ln x_i$。

令 $\frac{d\ln L}{d\theta }=\frac{n}{\theta +1}+\sum _{i=1}^n\ln x_i=0$，解得极大似然估计量
$$\hat{\theta }=-1-\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\ln X_i}.$$